Une démonstration est un raisonnement rigoureux et nécessaire qui appartient au domaine des mathématiques. Elle consiste à trouver les propositions reconnues comme vraies d’où découleront par déduction les propositions à démontrer. La démonstration ne fait pas intervenir l’expérience mais seulement le raisonnement. Elle semble être le meilleur chemin pour nous conduire à la vérité. Tout est-il démontrable ? En remontant la chaîne du raisonnement, ne parvient-on pas à une première proposition qui ne peut-être démontrées, qu’il faut admettre ?

 

1. Prouver, argumenter, démontrer

 

Le point commun entre prouver, argumenter et démontrer est le recours à la raison (pensée). Raisonner, c’est mettre de l’ordre dans les idées.

La preuve est juridique, logique, scientifique : elle est non définitive.

On utilise l’argumentation en politique, en philosophie, en sciences humaines (histoire, psychologie, sociologie, droit). Elle utilise le discours : l’art de la rhétorique, la persuasion : sentiments, imagination (plus sinueuse) et elle veut convaincre : la raison.

La démonstration est utilisée en mathématiques : elle tire de principes : les axiomes (postulat), une ou plusieurs conséquences et elle s’aide des propriétés préalablement démontrées. L’axiome est une proposition primitive non démontrée d’un système déductif : on doit l’admettre, c’est nécesaire.

 

2. Origine de la démonstration

 

Au VIe siècle avant JC : Thalès et Pythagore en Grèce. La géométrie s’est développée antérieurement chez les Egyptiens mais elle reste empirique : elle procédait par tâtonnement. C’est seulement avec les Grecs qu’on passe des calculs empiriques aux démonstrations rationnelles.

Egalité entre le professeur le maître et l’élève : la raison. Fraternité : la raison passe de l’individuel au collectif. Analyse d’Alain de la démonstration, du Menon. Démontrer, c’est s’obliger à admettre mais c’est une obligation rationnelle qui est au fondement de la liberté de penser. 

 

3. Les limites de la démonstration

 

Le mathématicien n’affirme rien sans démontrer, un peu comme le fait le philosophe. Une démonstration mathématique est le passage nécessaire d’une proposition à une autre, chaque proposition étant portée par la précédente. La rigueur logique permet à la vérité de se propager. Mais si cette vérité est déjà connue, la démonstration mathématique est tautologique, mais c’est une tautologie féconde. La tautologie est le fait d’affirmer quelque chose que l’on connaît déjà. Si on change la proposition de départ, toute la démonstration change : les mathématiques sont uniquement conventionnelles et hypothétodéductives. Le problème qui se pose lorsqu’on veut démontrer concerne le point de départ : axiome ou postulat. Un postulat est pour le mathématicien un échec. Il s’efforce de le démontrer et de le transformer en théorème. Le problème s’est posé à propos du cinquième postulat de la géométrie d’Euclide (IVe et IIIe siècles avant JC). Euclide part d’un petit nombre de données premières : les définitions, les axiomes et en déduit logiquement d’autres propositions. Le cinquième postulat d’Euclide soutient que par un point extérieur à une droite il ne passe qu’une parallèle à la droite. Comme on n’a pas pu le démontrer, on a eu recours à des démonstrations par l’absurde et on s’est trouvé en présence d’un système cohérent. Ainsi Rieman (mathématicien du XIXe siècle) a supposé qu’on ne pouvait mener aucune parallèle à la droite et sa démonstration était cohérente, l’espace a une courbure positive, sphérique et la somme des angles d’un triangle est supérieure à 180°. Lobatchevsky (mathématicien) a supposé qu’on pouvait mener une infinité de parallèles. Et là encore il s’est trouvé que sa démonstration était cohérente. La somme des angles étant inférieure à 180°. Ces recherches ont provoqué une crise en mathématiques. Avec les géométries non-euclidiennes on a parlé du déclin des absolus logico-mathématiques puisque des propositions considérées comme des vérités absolues n’étaient en fait que relatives aux hypothèses de départ. En fait les mathématiques ne sont ni vraies ni fausses mais conventionnelles.